Luas permukaan kulit bola yang didapat dengan memutar lingkaran [tex]x^2+y^2=1,~x> 0[/tex] mengelilingi sumbu y adalah 4π satuan luas.
PEMBAHASAN
Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.
[tex]\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}[/tex]
Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas permukaan benda putar.
1. Jika diputar terhadap sumbu x : [tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{x_2}_{x_1} {y\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}} \, dx }[/tex]
2. Jika diputar terhadap sumbu y : [tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {x\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}} \, dy }[/tex]
.
DIKETAHUI
Lingkaran [tex]x^2+y^2=1,~x> 0[/tex] diputar mengelilingi sumbu y.
.
DITANYA
Tentukan luas permukaan kulit bolanya.
.
PENYELESAIAN
Karena diputar terhadap sumbu y, kita gunakan rumus no 2.
Lingkaran [tex]x^2+y^2=1[/tex] memiliki jari jari 1 satuan, maka batas integralnya :
y₁ = -1 dan y₂ =1.
.
[tex]x^2+y^2=1[/tex]
[tex]x^2=1-y^2[/tex]
[tex]x=\pm\sqrt{1-y^2}[/tex]
Karena x > 0 pilih :
[tex]x=\sqrt{1-y^2}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{dx}{dy}=\frac{-2y}{2(1-y^2)^{\frac{1}{2}}} }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{dx}{dy}=-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} }[/tex]
.
Maka luas permukaanya :
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{y_2}_{y_1} {x\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^1_{-1} {\sqrt{1-y^2}\sqrt{1+\left ( -\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \right )^2}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{1}_{-1} {\sqrt{1-y^2}\sqrt{1+\frac{y^2}{1-y^2}}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{1}_{-1} {\sqrt{1-y^2}\sqrt{\frac{1-y^2+y^2}{1-y^2}}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{1}_{-1} {\sqrt{1-y^2}\sqrt{\frac{1}{1-y^2}}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{1}_{-1} {\sqrt{\frac{1-y^2}{1-y^2}}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{1}_{-1} {\sqrt{1}} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi\int\limits^{1}_{-1} {} \, dy }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi y\Bigr|^1_{-1} }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=2\pi[1-(-1)] }[/tex]
[tex]\displaystyle{A=4\pi~satuan~luas }[/tex]
.
CATATAN
Luas permukaan di atas sama saja dengan mencari luas permukaan bola berjari jari 1 satuan menggunakan rumus yang sudah dipelajari di materi bangun ruang bola, yaitu [tex]L=4\pi r^2[/tex]
.
KESIMPULAN
Luas permukaan kulit bola yang didapat dengan memutar lingkaran [tex]x^2+y^2=1,~x> 0[/tex] mengelilingi sumbu y adalah 4π satuan luas.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Mencari luas permukaan sikloda : https://brainly.co.id/tugas/36981610
- Mencari titik berat kurva : https://brainly.co.id/tugas/47427349
- Mencari panjang busur kurva : https://brainly.co.id/tugas/46515229
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Integral Tak Tentu
Kode Kategorisasi: 11.2.10
Kata Kunci : integral, luas, permukaan, benda, putar, bola.
Jawab:
[tex]\frac{11}{7}[/tex][tex]cm^{2}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
[tex]x^{2} +y^{2} =1[/tex]
ketika x adalah 0
[tex]0^{2} +y^{2} =1[/tex]
[tex]y^{2}[/tex]=1
y=1
(0,1)
ketika y adalah 0
[tex]x^{2}+0^{2} =1[/tex]
[tex]x^{2}[/tex]=1
x=1
(1,0)
disini kita tahu gambaran lingkaran dan bahwa lingkaran memiliki radius 1
karena x harus lebih dari 0 maka hanya 1 sisi dengan sumbu x sebagai pembaginya yang di hitung
maka lingkaran menjadi setengah lingkaran
maka luas setengah lingkaran dengan radius 1 adalah
=[tex]\frac{\pi *R^{2} }{2}[/tex]
=[tex]\frac{\pi *1}{2}[/tex]
=[tex]\frac{\pi }{2}[/tex]
atau [tex]\frac{22/7}{2}[/tex]
=[tex]\frac{11}{7}[/tex]
[answer.2.content]
